HỌC247 xin giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài Giá trị lượng giác của một góc từ 0˚ đến 180˚ - định lí côsin và định lí sin trong tam giác. Bài giảng có lý thuyết được tóm tắt ngắn gọn và các bài tập minh hoạ kèm theo lời giải chi tiết cho các em tham khảo, rèn luyện kỹ năng giải Toán 10 Cánh Diều. Mời các em học sinh cùng tham khảo.
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Giá trị lượng giác của một góc từ \({0^0}\) đến \({180^0}\)
|
+) Với mỗi góc \(\alpha ({0^o} \le \alpha {\rm{\;}} \le {180^o})\) có duy nhất điểm \(M({x_0};{y_0})\) trên nửa đường tròn đơn vị để \(\widehat {xOM} = \alpha .\) Khi đó: \(\sin \alpha {\rm{\;}} = {y_0}\) là tung độ của M \(\cos \alpha {\rm{\;}} = {x_0}\) là hoành độ của M \(\tan \alpha {\rm{\;}} = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}(\alpha {\rm{\;}} \ne {90^o})\) \(\cot \alpha {\rm{\;}} = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}(\alpha {\rm{\;}} \ne {0^o},\alpha {\rm{\;}} \ne {180^o})\) |
|---|
*Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Hai góc bù nhau, \(\alpha \) và \({180^o} - \alpha \):
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha }\\{\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {\rm{\;}} - \cos \alpha }\\{\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {\rm{\;}} - \tan \alpha (\alpha {\rm{\;}} \ne {{90}^o})}\\{\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = {\rm{\;}} - \cot \alpha ({0^o} < \alpha {\rm{\;}} < {{180}^o})}\end{array}\)
Hai góc phụ nhau, \(\alpha \) và \({90^o} - \alpha \):
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha }\\{\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha }\\{\tan \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cot \alpha (\alpha {\rm{\;}} \ne {{90}^o},{0^o} < \alpha {\rm{\;}} < {{180}^o})}\\{\cot \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \tan \alpha (\alpha {\rm{\;}} \ne {{90}^o},{0^o} < \alpha {\rm{\;}} < {{180}^o})}\end{array}\)
*Các giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
.JPG)
Ví dụ: Viết giá trị lượng giác của góc \({120^0}\)
Giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\sin {120^0} = \sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\\
cos{120^0} = - cos{60^0} = - \frac{1}{2};\\
\tan {120^0} = - \tan {60^0} = - \sqrt 3 ;\\
\cot {120^0} = - \cot {60^0} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}.
\end{array}\)
1.2. Định lí Côsin
|
Trong tam giác ABC: \(\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A}\\{{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B}\\{{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C}\end{array}\) |
|---|
* Hệ quả
\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)
Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và \(\widehat A = {120^0}\)
.JPG)
a) Tính cos A
b) Tính độ dài cạnh BC
Giải
a) Ta có: \(\cos A = cos{120^0} = - cos{60^0} = - \frac{1}{2}\).
b) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2{\rm{A}}B.AC.\cos A.\)
Thay số ta có: \(B{C^2} = {3^2} + {5^2} - 2.3.5.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 49\)
Do đó: \(B{C^2} = \sqrt {49} = 7\).
1.3. Định lí Sin
|
Trong tam giác ABC: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.\) (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) |
|---|
* Hệ quả
\(a = 2R.\sin A;\quad b = 2R\sin B;\quad c = 2R\sin C\)
\(\sin A = \frac{a}{{2R}};\quad \sin B = \frac{b}{{2R}};\quad \sin C = \frac{c}{{2R}}.\)
Ví dụ: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {120^0},\widehat B = {45^0}\) và CA = 20. Tính
a) Sin A
b) Độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoài tiếp tam giác
.JPG)
Giải
a) Ta có: \(\sin A = \sin {120^0} = \sin {60^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:
\(\begin{array}{l}
BC = \frac{{CA.\sin {\rm{A}}}}{{\sin B}} = \frac{{20.\sin {{120}^0}}}{{\sin {{45}^0}}} = 10\sqrt 6 ;\\
R = \frac{{CA}}{{2.\sin B}} = \frac{{20}}{{2.\sin {{45}^0}}} = 10\sqrt 2 .
\end{array}\)
Bài tập minh họa
Câu 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC =7. Tính cosA.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)\( \Rightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
Mà \(AB = c = 5,{\rm{ }}AC = b = 6,{\rm{ }}BC = a = 7\).
\( \Rightarrow \cos A = \frac{{{6^2} + {5^2} - {7^2}}}{{2.5.6}} = \frac{1}{5}\)
Câu 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính R = 6 và có các góc \(\widehat B = {65^o},\widehat C = {85^o}.\) Tính độ dài cạnh BC.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\widehat B = {65^o},\widehat C = {85^o}.\)
\( \Rightarrow \widehat A = {180^o} - \left( {{{65}^o} + {{85}^o}} \right) = {30^o}.\)
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:
\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow BC = 2R.\sin A\)
Mà \(\widehat A = {30^o},R = 6.\)
\( \Rightarrow BC = 2.6.\sin {30^o} = 6.\)
Vậy BC = 6.
Luyện tập Bài 1 Chương 4 Toán 10 CD
Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:
- Nắm được định nghĩa giá trị lượng giác của một góc bất kì từ đến và giá trị lượng giác của các góc đặc biệt từ đến.
- Hiểu quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau.
- Hiểu khái niệm góc giữa hai vectơ, nắm được cách xác định góc giữa hai vectơ.
3.1. Bài tập trắc nghiệm Bài 1 Chương 4 Toán 10 CD
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
-
- A. 30°
- B. 45°
- C. 60°
- D. 90°
-
- A. BC = 1;
- B. BC = 2;
- C. \(BC = \sqrt 2 \)
- D. \(BC = \sqrt 3 \)
-
Câu 3:
Tam giác ABC có \(AB = \sqrt 2 ,AC = \sqrt 3 \) và \(\widehat C = {45^0}\). Tính độ dài cạnh BC.
- A. \(BC = \sqrt 5 ;\)
- B. \(BC = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2};\)
- C. \(BC = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{2};\)
- D. \(BC = \sqrt 6 ;\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 1 Chương 4 Toán 10 CD
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 4 Bài 1 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 63 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 2 trang 63 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 3 trang 64 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 4 trang 66 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 5 trang 66 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 1 trang 66 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 6 trang 67 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 7 trang 67 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 8 trang 68 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 2 trang 68 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 9 trang 69 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 10 trang 69 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hoạt động 11 trang 70 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Luyện tập 3 trang 70 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 1 trang 71 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 2 trang 71 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 3 trang 71 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 4 trang 71 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 5 trang 71 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 6 trang 71 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 7 trang 71 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 8 trang 71 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 1 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 2 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 3 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 4 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 5 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 6 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 7 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 8 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 9 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 10 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Giải bài 11 trang 75 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD
Hỏi đáp Bài 1 Chương 4 Toán 10 CD
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 HỌC247
