Ôn tập Toán 11 Chương 5 Đạo hàm

Đề cương Ôn tập Toán 11 Chương 5

A. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Hệ thống kiến thức Chương 5

1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

a) Định nghĩa

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\)và \(x_0 \in (a;b)\), đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\) là: \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}.\)

b) Chú ý

Nếu kí hiệu \(\Delta x = x - {x_0};\,\,\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})\) thì:

\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)

Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì liên tục tại điểm đó.

Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x_0\) ta thực hiện như sau:

Chứng minh \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\) không tồn tại.
Hoặc chứng minh hàm số không liên tục tại \(x_0.\)

c) Các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa

Tính \(\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) = f(x) - f({x_0})\)
Lập tỷ số: \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)

d) Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Ý nghĩa hình học

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị (C):

\(f'(x_0)\) là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị (C) của hàm số \(y=f(x)\) tại \(M_0(x_0;y_0) \in (C).\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là:

\(y = f'({x_0}).(x - {x_0}) + {y_0}\)

Các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C):\)

Bước 1: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)

Bước 2: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại \(M_0\) là \(k=f'(x_0)\)

Bước 3: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là: \(y = f'({x_0}).(x - {x_0}) + {y_0}\)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số y=f(x) khi biết hệ số k, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C).

Bước 2: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)

Bước 3: Giải phương trình \(k=f'(x_0)\) tìm \(x_0\), rồi tìm \(y_0=f(x_0).\)

Bước 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k là: \(y = k(x - {x_0}) + {y_0}.\)

Ý nghĩa vật lý

Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: \(s=s(t)\) tại thời điểm \(t_0\) là \(v(t_0)=s'(t_0).\)
Cướng độ tức thời của điện lượng \(Q=Q(t)\) tại thời điểm \(t_0\) là: \(I(t_0)=Q'(t_0).\)

2. Vi phân 

a) Định nghĩa

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\)

Giả sử \(\Delta x\) là số gia của x sao cho \(x + \Delta x \in (a;b).\)

Vi phân của hàm số \(y=f(x)\) tại x là \(dy = df(x) = f'(x)dx.\)

b) Các dạng toán

Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số \(y=f(x)\)

Phương pháp

Tính đạo hàm f'(x).
Vi phân của hàm số y=f(x) tại x là \(df(x) = f'(x)dx.\)
Vi phân của hàm số y=f(x) tại \(x_0\) là \(df(x_0) = f'(x_0)dx.\)

Dạng 2: Tìm giá trị gần đúng của một biểu thức

Phương pháp

Lập hàm số \(y=f(x)\) và chọn \(x_0, \Delta x\) một cách thích hợp.
Tính đạo hàm \(f'(x), f'(x_0)\) và \(f(x_0).\)
Giá trị gần đúng của biểu thức \(P = f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f'({x_0})\Delta x.\)

3. Đạo hàm cấp hai

a) Định nghĩa đạo hàm cấp hai

Hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\)

Khi đó \(y'=f'(x)\) xác định một hàm sô trên (a;b).

Nếu hàm số \(y'=f'(x)\) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=f(x)\) tại x.

Kí hiệu: \(y''\) hoặc \(f''(x).\)

b) Đạo hàm cấp n

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp \(n-1,\) kí hiệu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)(n \in \mathbb{N}, n\geq 4)\) và nếu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm câp n của \(y=f(x),\) kí hiệu \(y^{(n)}\) hoặc \(f^{(n)}(x).\)

\({f^{(n)}}(x) = {\rm{[}}{f^{(n - 1)}}(x){\rm{]}}'\)

c) Ý nghĩa cơ học

Đạo hàm cấp hai \(f''(t)\) là gia tốc tức thời của chuyển động \(S=f(t)\) tại thời điểm t.

1.2. Các công thức tính đạo hàm 

BẢNG 1: CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM LỚP 11

Hàm số	Hàm hợp tương ứng
\({\left( C \right)^\prime } = 0\,\,\,\,\,;\,\,\,\,{\left( x \right)^\prime } = 1\)
\({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n.{x^{n - 1}}\,\,\left( {n \in \mathbb{N}\,\,,\,\,n \ge 2} \right)\)	\({\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n - 1}}.u'\,\,\,\,\,,\,\,\,\left( {n \in \mathbb{N}\,\,,\,\,n \ge 2} \right)\)
\({\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\,\,\,\,,\,\,\left( {x > 0} \right)\)	\(\,\,\,{\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'\,}}{{2\sqrt u }}\,\,\,\,\,,\,\,\left( {u > 0} \right)\)
\({\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\,\,\,\)	\({\left( {\sin u} \right)^\prime } = u.'\cos u\)
\({\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\,\)	\({\left( {\cos u} \right)^\prime } = - u'.\sin u\)
\({\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\,\,\)	\(\,\,{\left( {\tan u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\,\)
\({\left( {\cot x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,\,\)	\(\,\,{\left( {\cot u} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\,\)

B. Bài tập minh họa

Bài 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 4\)                         b) \(y = \sin x - \cos x + \tan x\)

c) \(y = {x^4} + 2\sqrt x \)                                    d) \(y = \cot x - 3x + 2\)

Hướng dẫn giải

a) \(y' = \left( {{x^3} - 2{x^2} + 3x + 4} \right)' = 3{x^2} - 4x + 3\)

b) \(y' = \left( {\sin x - \cos x + \tan x} \right)' = \cos x + \sin x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

c) \(y' = \left( {{x^4} + 2\sqrt x } \right)' = 4{x^3} + \frac{1}{{\sqrt x }}\)

d) \(y' = \left( {\cot x - 3x + 2} \right)' =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 3\)

Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số tại các điểm tương ứng 

a) \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 4x + 1\) tại \({x_0} =  - 1\)

b) \(y = \sin 2x + \cos x\) tại \({x_0} =  - \frac{\pi }{4}\)

c) \(y = \sqrt x  - 2x\) tại \({x_0} = 2\)

Hướng dẫn giải

a) \({y' = {{\left( { - {x^3} + 3{x^2} - 4x + 1} \right)}^\prime } =  - 3{x^2} + 6x - 4}\) \({ \Rightarrow y'\left( { - 1} \right) =  - 3 - 6 - 4 =  - 13}\)

b) \({y' = {{\left( {\sin 2x + \cos x} \right)}^\prime } = 2\cos 2x - \sin x}\) \({ \Rightarrow y'\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = 2\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) - \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\)

c) \({y' = {{\left( {\sqrt x  - 2x} \right)}^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }} - 2}\) \({ \Rightarrow y'\left( 2 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} - 2 = \frac{{1 - 4\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }}}\)

Bài 3: Tính đạo hàm các hàm số 

a) \({y = \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}}}\)

b) \({y = \sin \left( {2x + 1} \right) + \cos \left( {1 - x} \right)}\)

c) \({y = \sqrt {{x^2} + 4x + 1} }\)

d) \({y = \tan \left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)}\)

Hướng dẫn giải

a) \({\rm{ }}y' = \left( {\frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}}} \right)' = \frac{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

b) \(y' = \left( {\sin \left( {2x + 1} \right) + \cos \left( {1 - x} \right)} \right)' = 2\cos \left( {2x + 1} \right) + \sin \left( {1 - x} \right)\)

c) \(y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 4x + 1} } \right)' = \frac{{2x + 4}}{{2\sqrt {{x^2} + 4x + 1} }} = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 1} }}\)

\(\begin{array}{l}
d) y' = \left( {\tan \left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)} \right)' = \frac{{\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)'}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)}}\\
 = \frac{{2x + \frac{1}{{\sqrt x }}}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{2x\sqrt x  + 1}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x  + 1} \right)}}
\end{array}\)

Bài 4: Chứng minh \(y' + 2{y^2} + 2 = 0\) với \(y = \cot 2x\)

Hướng dẫn giải

Ta có \(y' =  - \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}\)

Khi đó \(y' + 2{y^2} + 2 =  - \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}} + \frac{{2{{\cos }^2}2x}}{{{{\sin }^2}2x}} + 2 = \frac{{ - 2 + 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)}}{{{{\sin }^2}2x}} = 0\) (đpcm)

Trắc nghiệm Toán 11 Chương 5

• Trắc nghiệm Toán 11 Chương 5 Bài 1 
• Trắc nghiệm Toán 11 Chương 5 Bài 2
• Trắc nghiệm Toán 11 Chương 5 Bài 3
• Trắc nghiệm Toán 11 Chương 5 Bài 4
• Trắc nghiệm Toán 11 Chương 5 Bài 5
• Trắc nghiệm ôn tập Chương 5 Toán 11

Đề kiểm tra Toán 11 Chương 5

Đề kiểm tra trắc nghiệm online Chương 5 Toán 11 (Thi Online)

Phần này các em được làm trắc nghiệm online trong vòng 45 phút để kiểm tra năng lực và sau đó đối chiếu kết quả và xem đáp án chi tiết từng câu hỏi.

• Đề kiểm tra 1 tiết chương Đạo Hàm Giải tích lớp 11 năm học 2018 - 2019
• Đề kiểm tra 1 tiết Chương 5 ĐS & GT 11 Trường THPT Phan Chu Trinh năm 2018 - 2019
• Đề kiểm tra 1 tiết Đạo hàm Toán 11 Trường THPT Long Hải năm 2017 - 2018

Đề kiểm tra Chương 5 Toán 11 (Tải File)

Phần này các em có thể xem online hoặc tải file đề thi về tham khảo gồm đầy đủ câu hỏi và đáp án làm bài.

• Đề kiểm tra 1 tiết Chương 5 Toán 11 năm 2019 Trường THPT Phan Chu Trinh
• Đề kiểm tra 1 tiết Chương 5 Toán 11 năm 2019 Trường THPT Triệu Quang Phục
• 40 câu trắc nghiệm ôn tập chương Đạo hàm Giải tích lớp 11
• Đề kiểm tra 1 tiết Chương Đạo hàm Toán lớp 11 Trường THPT Long Hải năm học 2017 - 2018 

Lý thuyết từng bài Chương 5 và hướng dẫn giải bài tập SGK

Lý thuyết các bài học Toán 11 Chương 5

• Toán 11 Bài 1 Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
• Toán 11 Bài 2 Quy tắc tính đạo hàm
• Toán Bài 3 Đạo hàm của hàm số lượng giác
• Toán 11 Bài 4 Vi phân
• Toán 11 Bài 5 Đạo hàm cấp hai
• Toán 11 Ôn tập chương 5 Đạo hàm

Hướng dẫn giải bài tập Toán 11 Chương 5

• Giải bài tập Toán 11 Chương 5 Bài 1
• Giải bài tập Toán 11 Chương 5 Bài 2
• Giải bài tập Toán 11 Chương 5 Bài 3
• Giải bài tập Toán 11 Chương 5 Bài 4
• Giải bài tập Toán 11 Chương 5 Bài 5
• Giải bài ôn tập Chương 5 Toán 11

Trên đây là tài liệu Ôn tập Toán 11 Chương 5 Đạo hàm. Hy vọng với tài liệu này, các em sẽ giúp các em ôn tập và hệ thống lại kiến thức Chương 5 thật tốt. Để thi online và tải file đề thi về máy các em vui lòng đăng nhập vào trang hoc247.net và ấn chọn chức năng "Thi Online" hoặc "Tải về". Ngoài ra, các em còn có thể chia sẻ lên Facebook để giới thiệu bạn bè cùng vào học, tích lũy thêm điểm HP và có cơ hội nhận thêm nhiều phần quà có giá trị từ HỌC247 !