Ôn tập Toán 11 Chương 1 Hàm Số Lượng Giác & PT Lượng Giác

Đề cương Ôn tập Toán 11 Chương 1

A. Tóm tắt lý thuyết

1) Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

Dạng phương trình:

\(a\sin {}^2x + b\sin x\cos x + c\cos {}^2x = d{\rm{  (1) }}\)

(a, b, c, d: có ít nhất 2 hệ số khác không)

Phương pháp giải:

• Cách 1:

Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) hay không

Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d(1 + {\tan ^2}x)\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c - d = 0\)  \(\left( {1'} \right)\)

Đặt \(t = \tan x\)

Phương trình \(\left( {1'} \right)\) trở thành: \((a - d){t^2} + bt + c - d = 0{\rm{   (2)}}\)

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x  theo \(t = \tan x\)

• Cách 2: Sử dụng các công thức

 \({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\); \({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\); \(\sin x\cos x = \frac{{\sin 2x}}{2}\)

Phương trình (1) trở thành:

\(a\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right) + b\frac{{\sin 2x}}{2} + c\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right) = d\)

\( \Leftrightarrow b\sin 2x + (c - a)\cos 2x = 2d - a - c\)

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x.

2) Phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sinx và cosx

Dạng phương trình:

\(a\sin {}^3x + b{\sin ^2}x\cos x + c\sin x{\cos ^2}x + d\sin x + e\cos x + fc{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x = 0{\rm{    (1)  }}\)

(a, b, c, d, e, f: có ít nhất 2 hệ số khác không).

Phương pháp giải:

Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)có là nghiệm của (1) hay không

Xét\(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^3}x\)  ta được:

\(a{\tan ^3}x + b{\tan ^2}x + c\tan x + d\tan x(1 + {\tan ^2}x) + e(1 + {\tan ^2}x) + f = 0\)

\( \Leftrightarrow (a + d){\tan ^3}x + (b + e){\tan ^2}x + (c + d)\tan x + e + f = 0\) \(\left( {{\rm{1'}}} \right)\)

Đặt \(t = \tan x\)

Phương trình \(\left( {{\rm{1'}}} \right)\) trở thành:

\((a + d){{\mathop{\rm t}\nolimits} ^3} + (b + e){{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + (c + d){\mathop{\rm t}\nolimits}  + e + f = 0\)   (2)

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo \(t = \tan x\)

3) Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

• Dạng 1: \(a\left( {\sin x + \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\)

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)    (*)

Suy ra  \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

Khi đó phương trình trở thành: \(b{t^2} + 2at + 2c - b = 0\)

Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiên (*) suy ra t

Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = t\), suy ra x

Chú ý: Ta cũng có thể đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) và làm tương tự như trên.

• Dạng 2: \(a\left( {\sin x - \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\)

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\)

Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)    (*)

Suy ra \(\sin x\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}\)

Khi đó phương trình trở thành: \(b{t^2} - 2at - 2c - b = 0\)

Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiện  (*) suy ra t

Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = t\), suy ra x

4) Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx

1. Dạng 1: \(a({\tan ^2}x + {\cot ^2}x) + b(\tan x + \cot x) + c = 0\)

Phương pháp giải

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\)

Đặt \(t = \tan x + \cot x\), điều kiện \(\left| t \right| \ge 2\)

Suy ra \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} - 2\)

Phương trình trở thành:

\(a({t^2} - 2) + bt + c = 0 \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c - 2a = 0\)

Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (*), suy ra t

Giải phương trình \(\tan x + \cot x = t\)

Cách 1:

Ta có \(\tan x + \frac{1}{{\tan x}} = t \Leftrightarrow {\tan ^2}x - t.\tan x + 1 = 0\)

Đây là phương trình bậc hai theo tanx

Cách 2:

Ta có: \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = t \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = t \Leftrightarrow \sin 2x = \frac{2}{t}\)

Đây là phương trình cơ bản của sin2x

1. Dạng 2: \(a({\tan ^2}x + {\cot ^2}x) + b(\tan x - \cot x) + c = 0\)

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}{\rm{, }}k \in \mathbb{Z}\)

Đặt  \(t = \tan x - \cot x\). Khi đó \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} + 2\)

Phương trình trở thành:

\(a({t^2} + 2) + bt + c = 0 \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c + 2a = 0\)

Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (nếu có), suy ra t

Giải phương trình \(\tan x - \cot x = t\)

Cách 1:

Ta có \(\tan x - \frac{1}{{\tan x}} = t \Leftrightarrow {\tan ^2}x - t\tan x - 1 = 0\)

Đây là phương trình bậc hai theo tanx

Cách 2:

Ta có: \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = t \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = t\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 2\cos 2x}}{{\sin 2x}} = t \Leftrightarrow \cot 2x =  - \frac{t}{2}\)

Đây là phương trình cơ bản của cot 2x.

B. Bài tập minh họa 

Bài tập:

Giải các phương trình lượng giác sau:

a) \(\tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)

b) \(\cot x = \tan x + \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}\)

c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 2\sin x\cos x - \frac{1}{2}{\cos ^2}2x\)

d) \(\cos 7x\cos 5x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 - \sin 7x\sin 5x\)

e) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{4}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\tan x + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Khi đó (1)\( \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin x\left( {1 + \sin x} \right) + {\cos ^2}x = \cos x\left( {1 + \sin x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin x + 1 = \cos x\left( {1 + \sin x} \right)\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + 1} \right)\left( {\cos x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x =  - 1\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

So sánh với điều kiện (*) ta được nghiệm của (1) là \(x = k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

 

b) \(\cot x = \tan x + \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 2x}}\)

Điều kiện: \(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \cos 2x \ne  \pm 1\) (*)

Khi đó (2)\( \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{\cos 4x}}{{\sin x\cos x}}\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \cos 4x\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x = \cos 4x \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - \cos 2x - 1 = 0\)

Đặt: \(t = \cos 2x,t \in \left( { - 1;1} \right)\)

Bất phương trình trở thành: \(2{t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1\,(loai){\rm{   }}}\\{t =  - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Với \(\cos 2x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\\{2x =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\\{x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \), \(x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

 

c) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 2\sin x\cos x - \frac{1}{2}{\cos ^2}2x\)

\( \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = \sin 2x - \frac{1}{2}\left( {1 - {{\sin }^2}2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow 1 - \frac{{{{\sin }^2}2x}}{2} = \sin 2x - \frac{1}{2}\left( {1 - {{\sin }^2}2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}2x + 2\sin 2x - 3 = 0\)

Đặt \(t = \sin 2x,t \in \left[ { - 1;1} \right],\) Bất phương trình trở thành:

\({t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 3\,(loai)\end{array} \right.\)

Với \(\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (3) là \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

 

d) \(\cos 7x\cos 5x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 - \sin 7x\sin 5x\)

\( \Leftrightarrow \left( {\cos 7x\cos 5x + \sin 7x\sin 5x} \right) - \sqrt 3 \sin 2x = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{3} =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi {\rm{         }}}\\{x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array},} \right.{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Vậy nghiệm của (4) là \(x = k\pi \), \(x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

 

e) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{(1 - \cos 2x)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left[ {1 + \cos (2x + \frac{\pi }{2})} \right]}^2}}}{4} = \frac{1}{4}\)\( \Leftrightarrow {(1 - \cos 2x)^2} + {(1 - \sin 2x)^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x + \sin 2x = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = k\pi \end{array} \right.{\rm{, }}k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (5) là \(x = k\pi \), \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Trắc nghiệm Toán 11 Chương 1

• Trắc nghiệm Toán 11 Chương 1 Bài 1 
• Trắc nghiệm Toán 11 Chương 1 Bài 2
• Trắc nghiệm Toán 11 Chương 1 Bài 3
• Trắc nghiệm ôn tập Chương 1 Toán 11

Đề kiểm tra Toán 11 Chương 1

Đề kiểm tra trắc nghiệm online Chương 1 Toán 11 (Thi Online)

Phần này các em được làm trắc nghiệm online trong vòng 45 phút để kiểm tra năng lực và sau đó đối chiếu kết quả và xem đáp án chi tiết từng câu hỏi.

• Đề trắc nghiệm ôn tập Chương Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác lớp 11
• 40 câu trắc nghiệm ôn tập Chương 1 Đại số và Giải tích 11
• Đề kiểm tra 1 tiết Chương 1 Đại số 11 năm 2018 Trường THPT Tân Hiệp - Kiên Giang
• Đề kiểm tra 1 tiết Chương 1 Đại số 11 năm 2018 Trường THPT Bến Tre - Vĩnh Phúc

Đề kiểm tra Chương 1 Toán 11 (Tải File)

Phần này các em có thể xem online hoặc tải file đề thi về tham khảo gồm đầy đủ câu hỏi và đáp án làm bài.

• Đề kiểm tra 1 tiết chương 1 Đại số và Giải tích 11 Trường THPT Tân Hiệp năm học 2018 - 2019
• Đề kiểm tra 1 tiết chương 1 Đại số và giải tích 11 Trường THPT Chu Văn An năm 2018 - 2019
• Đề kiểm tra 1 tiết chương 1 Đại số và giải tích 11 Trường THPT Bến Tre năm học 2018 - 2019
• Đề kiểm tra 1 tiết chương 1 Đại số và Giải tích 11 Trường THPT NT Hà Nội năm học 2018 - 2019
• Đề kiểm tra 1 tiết chương 1 ĐS & GT 11 Trường THPT TX Quảng Trị năm học 2017 - 2018 
• Đề kiểm tra 1 tiết chương 1 Đại số và giải tích 11 Trường THPT Đức Thọ năm học 2017 - 2018
• Đề kiểm tra 1 tiết chương 1 ĐS & GT 11 Trung tâm GDTX Châu Thành năm học 2017 - 2018
• Đề kiểm tra 1 tiết chương 1 ĐS & GT 11 Trường THPT Trần Quang Khải năm học 2017 - 2018 
• Đề kiểm tra 1 tiết chương 1 Đại số và Giải tích 11 THPT Tô Hiệu năm 2018
• Đề kiểm tra Toán 11 chương 1 Lượng giác THPT Trần Quang Khải
• Đề Đề kiểm tra 1 tiết Chương 1 Đại số 11 năm 2017- Trường Trần Quang Khải
• Đề kiểm tra 1 tiết chương 1 môn Toán lớp 11 năm 2017 - Trường Tôn Thất Tùng
• Đề kiểm tra 1 tiết chương 1 môn Toán lớp 11 năm 2017 - Trường Thạnh Đông
• Đề kiểm tra 1 tiết Chương 1 Đại số 11 năm 2017 - Trường THPT Nguyễn Duy Thì
• Đề kiểm tra 1 tiết chương 1 Đại số 11 năm 2017 - Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

Lý thuyết từng bài Chương 1 và hướng dẫn giải bài tập SGK

Lý thuyết các bài học Toán 11 Chương 1

• Toán 11 Bài 1 Hàm số lượng giác
• Toán 11 Bài 2 Phương trình lượng giác cơ bản
• Toán 11 Bài 3 Một số phương trình lượng giác thường gặp
• Toán 11 Ôn tập chương 1 Hàm số lượng giác & Phương trình lượng giác

Hướng dẫn giải bài tập Toán 11 Chương 1

• Giải bài tập Toán 11 Chương 1 Bài 1
• Giải bài tập Toán 11 Chương 1 Bài 2
• Giải bài tập Toán 11 Chương 1 Bài 3
• Giải bài ôn tập Chương 1 Toán 11

Trên đây là tài liệu Ôn tập Toán 11 Chương 1 Hàm Số Lượng Giác & PT Lượng Giác . Hy vọng với tài liệu này, các em sẽ giúp các em ôn tập và hệ thống lại kiến thức Chương 1 thật tốt. Để thi online và tải file đề thi về máy các em vui lòng đăng nhập vào trang hoc247.net và ấn chọn chức năng "Thi Online" hoặc "Tải về". Ngoài ra, các em còn có thể chia sẻ lên Facebook để giới thiệu bạn bè cùng vào học, tích lũy thêm điểm HP và có cơ hội nhận thêm nhiều phần quà có giá trị từ HỌC247 !