Điều kiện: \(2x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > - 2\)  

Khi đó:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {{x^2} + 1} \right) < {\log _{\frac{\pi }{4}}}\left( {2x + 4} \right)\\
 \Leftrightarrow {x^2} + 1 > 2x + 4\left( {do\frac{3}{4} < 1} \right)
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x <  - 1}\\
{x > 3}
\end{array}} \right..}
\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm BPT là: \(S = \left( {3; + \infty } \right) \cup \left( { - 2; - 1} \right).\)